wajib sertai langkah pengerjaan!
[tex]\large\text{$\begin{aligned}K'({\bf6,4}),\:L'({\bf8,-4}),\:M'({\bf-6,14})\end{aligned}$}[/tex]
____________________
Pendahuluan
Transformasi Geometri: Dilatasi
Dilatasi suatu titik [tex]A(x, y)[/tex] dengan pusat [tex]P(a, b)[/tex] dan faktor skala [tex]k[/tex] dinyatakan oleh:
[tex]\begin{aligned}A(x,y)\xrightarrow{\begin{array}{c}D[P(a,b),k]\end{array}}A'(x',y')\end{aligned}[/tex]
Matriks transformasi untuk dilatasi tersebut adalah:
[tex]\begin{aligned}M=\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]
sehingga koordinat titik bayangan hasil [tex]D[P(a,b),k][/tex] dihitung dengan:
[tex]\begin{aligned}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=M\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\\\therefore\ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]
Dengan pusat dilatasi [tex]O(0,0)[/tex], koordinat titik bayangan hasil dilatasi dengan faktor skala [tex]k[/tex] adalah:
[tex]\begin{aligned}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-0\\y-0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\\therefore\ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]
____________________
Pembahasan
Diketahui
[tex]\triangle{KLM}[/tex] memiliki titik-titik sudut [tex]K(-3,-2)[/tex], [tex]L(-4,2)[/tex], dan [tex]M(3,-7)[/tex], didilatasi dengan pusat [tex]O(0,0)[/tex] dan faktor skala [tex]-2[/tex].
Ditanyakan
Koordinat bayangan dari ketiga titik sudut [tex]\triangle{KLM}[/tex], yaitu [tex]K'[/tex], [tex]L'[/tex], dan [tex]M'[/tex].
PENYELESAIAN
Matriks transformasi untuk dilatasi dengan pusat [tex]O(0,0)[/tex] dan faktor skala [tex]-2[/tex] adalah:
[tex]\begin{aligned}M=\begin{pmatrix}-2&0\\0&-2\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]
Koordinat titik hasil dilatasi tersebut adalah sebagai berikut.
[tex]\begin{aligned}K(-3,-2)&\xrightarrow{\begin{array}{c}D[O,-2]\end{array}}K'({x_K}',{y_K}')\\\Rightarrow \begin{pmatrix}{x_K}' \\ {y_K}'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}-2&0\\0&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3 \\ -2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-2\cdot(-3)+0\\0+(-2)\cdot(-2)\end{pmatrix}\\\Rightarrow \begin{pmatrix}{x_K}' \\ {y_K}'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\bf6\\\bf4\end{pmatrix}\\\therefore\ \ &\boxed{\:K'(\bf6,4)\:}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}L(-4,2)&\xrightarrow{\begin{array}{c}D[O,-2]\end{array}}L'({x_L}',{y_L}')\\\Rightarrow \begin{pmatrix}{x_L}' \\ {y_L}'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}-2&0\\0&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-4 \\ 2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-2\cdot(-4)+0\\0+(-2)\cdot2\end{pmatrix}\\\Rightarrow \begin{pmatrix}{x_L}' \\ {y_L}'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\bf8\\\bf-4\end{pmatrix}\\\therefore\ \ &\boxed{\:L'(\bf8,-4)\:}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}M(3,-7)&\xrightarrow{\begin{array}{c}D[O,-2]\end{array}}M'({x_M}',{y_M}')\\\Rightarrow \begin{pmatrix}{x_M}' \\ {y_M}'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}-2&0\\0&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -7\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-2\cdot3+0\\0+(-2)\cdot(-7)\end{pmatrix}\\\Rightarrow \begin{pmatrix}{x_M}' \\ {y_M}'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\bf-6\\\bf14\end{pmatrix}\\\therefore\ \ &\boxed{\:M'(\bf-6,14)\:}\end{aligned}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]
KESIMPULAN
∴ Koordinat titik-titik hasil dilatasi ketiga titik [tex]\triangle{KLM}[/tex] dengan pusat [tex]O(0,0)[/tex] dan skala [tex]-2[/tex] adalah:
[tex]\large\text{$\begin{aligned}K'({\bf6,4}),\:L'({\bf8,-4}),\:M'({\bf-6,14})\end{aligned}$}[/tex]
[answer.2.content]
